Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Кафедра автоматизованих систем управління
Звіт
до лабораторної роботи № 1
з курсу «Чисельні методи в інформатиці»
на тему «Абсолютна та відносна похибка»
Мета роботи: вивчити і засвоїти поняття абсолютної й відносної похибки та методи їх оцінювання.
Короткі теоретичні відомості
Зв'язок між кількістю точних десяткових знаків і відносною похибкою наближеного числа дається у наведеній далі теоремі.
Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову
δ ≤ ,
де ат – перша значуща цифра числа а .
Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти
δa =
де аm - перша значуща цифра числа а .
Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п ≥ 2 практично можна прийняти
δa = .
Означення. Вважатимемо, що n перших значущих цифр (десяткових знаків) наближеного числа а є точними,, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, котрий виражається його n-ною значущою цифрою (рахуючи зліва направо), тобто
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а, якщо відома його відносна похибка δ, можемо скористатися наближеною формулою
δ =
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ |a|. Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .
1. Похибки суми.
Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.
|∆и| ≤ |∆х1| + |∆х2| + ... +|∆хп|
Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто
∆и = ∆х1 +∆ х2 + ... +∆ хп .
Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.
max = .
2. Похибки різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1 та х2:
и = х1-х2 .
Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,
∆и = ∆х1 +∆ х2 , δu=, (6)
де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1 та х2 гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.
3. Похибки добутку.
| ∆u | = | А – u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+
+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .
За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти ∆u = x2x3 … xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп .
Тоді за граничну відносну похибку добутку можемо прийняти
.
4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2 , де для простоти будемо вважати, що x1 > 0, x2 > 0,, . Тоді ,
За граничну відносну похибку частки можна прийняти
.
5. Похибки степеня. Нехай А = (х + ∆ х)т , и = хт , де т – натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо
|∆u| < mxm - 1|∆x|, δ ≤ mδ1,
де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти
∆u= mxm - 1∆x, δu= mδx
Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.
Варіант 17
Оцінити абсолютну та відносну похибку при обчисленні величини F за умов:
a) заданих точних значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3;
B) заданих значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3 з похибкою (= N*10-3, де N – номер варіант...
